Teorema fundamental de la Aritmética
- Atziri Resendiz Tinajero
- 27 mar 2020
- 2 Min. de lectura
Actualizado: 28 mar 2020
El teorema fundamental de la aritmética es la afirmación de que todo entero natural no nulo se puede descomponer como un producto de factores primos de forma única.
Ejemplos:
91000 = 23×53×7×13
6363 = 32×7×101.
Además no existe ninguna otra factorización de 91000 y 6363 en números primos, excepto cambiando el orden de los factores. Se acostumbra escribir los factores en orden creciente.
Un producto vacío (es decir sin ningún factor) es por convención igual a 1, lo que permite afirmar que 1 también verifica el teorema. Un producto de un solo factor es por convención este factor; así los números primos también verifican el teorema.
Existen varias pruebas de este teorema que fue descubierto por los Griegos hace más de dos milenios:
Prueba por reducción al absurdo
Pruebas constructivas, es decir que permiten efectivamente encontrar tal factorización (o descomposición) en factores primos.
Si la prueba ad absurbum no es significativamente más corta se prefiere la constructiva.
La prueba consta de dos partes:
Primero, se debe mostrar que todo número entero positivo puede en efecto escribirse como producto de primos.
A continuación debe demostrarse que tal descomposición es única (si se ordenan los factores).
Existencia
Primero se verifica el teorema para valores pequeños:
El caso 1 ya se ha visto
2 es primo,
3 también,
4 = 2²,
5 es primo,
6 = 2×3,
7 es primo,
8 = 2³,
9 = 3²
Por tanto el teorema se verifica para los 9 primeros números naturales.
A continuación se demuestra por inducción para todos los números naturales:
Supongamos que hemos sido capaces de descomponer en primos todos los números enteros entre 2 y n-1. (afirmación que denotamos An-1).
Consideremos el entero n: si es primo entonces no hay nada más que demostrar. Si no es el caso, entonces n tiene un factor propio, es decir distinto de 1 y de él mismo. Sea a este factor, y b = n/a. Entonces n = a·b. Como a y b son por construcción inferiores a n y por lo tanto:
a ≤ n-1
b ≤ n-1,
Como además An-1 permite afirmar que a y b se descomponen en factores primos:
a = a1·a2·a3···aj
b = b1·b2·b3···bk.
Entonces:
n = a·b = a1·a2···aj·b1·b2···bk
que es un producto de primos. Por lo tanto hemos demostrado que An también es cierta.
Puesto que A1 es cierta y An-1 implica An, tenemos entonces que la afirmación An es siempre válida (con n ≥1).
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